Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
Giải và biện luận các phương trình sau [m và k là tham số]
LG a
[m - 1]x2 + 7x - 12 = 0
Phương pháp giải:
- Xét m-1=0
- Xét \[m-1\ne 0\] và biện luận theo các trường hợp của \[\Delta \].
Lời giải chi tiết:
Xét phương trình \[[m - 1]x^2 + 7x - 12 = 0\]
- Với \[m = 1\], phương trình trở thành: \[7x - 12 = 0 \Leftrightarrow x = {{12} \over 7}\]
- Với \[m ≠ 1\], ta có: \[Δ = 7^2 + 4.12.[m – 1] = 48m + 1\]
+ \[ Δ < 0 ⇔m < - {1 \over {48}}\] phương trình vô nghiệm
+ \[\Delta > 0 \Leftrightarrow m > - {1 \over {48}}\] thì phương trình có hai nghiệm phân biệt \[x_{1,2} = {{ - 7 \pm \sqrt {48m + 1} } \over {2[m - 1]}}\]
+ \[\Delta = 0 \Leftrightarrow m = - {1 \over {48}}\] thì phương trình có nghiệm kép \[x = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{7}{{2.\left[ {m - 1} \right]}} \]\[= - \frac{7}{{2\left[ { - \frac{1}{{48}} - 1} \right]}} = \frac{{24}}{7}\]
Vậy,
\[m = 1\] thì pt có nghiệm \[x = - \frac{{12}}{7}\]
\[m < - \frac{1}{{48}}\] thì pt vô nghiệm
\[ - \frac{1}{{48}} < m \ne 1\] thì pt có hai nghiệm phân biệt \[{x_{1,2}} = \frac{{ - 7 \pm \sqrt {48m + 1} }}{{2\left[ {m - 1} \right]}}\]
\[m = - {1 \over {48}}\] thì pt có nghiệm kép \[x=\frac{{24}}{7}\]
LG b
mx2 - 2[m + 3]x + m + 1 = 0
Phương pháp giải:
- Xét m=0
- Xét \[m\ne 0\] và biện luận theo các trường hợp của \[\Delta' \].
Lời giải chi tiết:
mx2 - 2[m + 3]x + m + 1 = 0
+ Với m = 0, phương trình trở thành: \[ - 6x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = {1 \over 6}\]
+ Với m ≠ 0. Ta có: Δ’ = [m + 3]2 – m[m + 1] = 5m + 9
\[\Delta' < 0 \Leftrightarrow m < - {9 \over 5}\] phương trình vô nghiệm
\[\Delta' > 0 \Leftrightarrow m> - {9 \over 5}\] , phương trình có hai nghiệm: \[x_{1,2} = {{m + 3 \pm \sqrt {5m + 9} } \over m}\]
\[\Delta' = 0 \Leftrightarrow m = - {9 \over 5}\] phương trình có nghiệm kép \[x = - \frac{{b'}}{a} = - \frac{{ - \left[ {m + 3} \right]}}{m} \]\[= \frac{{ - \frac{9}{5} + 3}}{{ - \frac{9}{5}}} = - \frac{2}{3}\]
Vậy,
Với m = 0, phương trình có nghiệm \[ x = {1 \over 6}\]
Với \[ m < - {9 \over 5}\] phương trình vô nghiệm
Với \[ 0\ne m > - {9 \over 5}\] , phương trình có hai nghiệm: \[x_{1,2} = {{m + 3 \pm \sqrt {5m + 9} } \over m}\]
Với \[m = - {9 \over 5}\] phương trình có nghiệm kép \[x= - \frac{2}{3}\]
LG c
[[k + 1]x - 1][x - 1] = 0
Phương pháp giải:
Phương trình tích
\[AB = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} A = 0\\ B = 0 \end{array} \right.\]
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\begin{array}{l} \left[ {\left[ {k + 1} \right]x - 1} \right]\left[ {x - 1} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left[ {k + 1} \right]x - 1 = 0\\ x - 1 = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left[ {k + 1} \right]x = 1\,\,\,[1]\\ x = 1 \end{array} \right. \end{array}\]
+ Nếu k = -1 thì [1] là \[0x = 1\] [vô lí] nên [1] vô nghiệm.
Do đó, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = 1
+ Nếu k ≠ -1 thì [1] có nghiệm \[x = {1 \over {k + 1}}\]
Ta có: \[{1 \over {k + 1}} = 1 \Leftrightarrow k + 1 = 1\Leftrightarrow k = 0\] .
Do đó:
- k = 0; S = {1}
ii] k ≠ 0 và k ≠ -1: \[S = {\rm{\{ }}1,\,{1 \over {k + 1}}{\rm{\} }}\]
iii] k = -1: S = {1}
LG d
[mx - 2][2mx - x + 1] = 0
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[[mx - 2][2mx - x + 1] = 0 \]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} mx - 2 = 0\\ 2mx - x + 1 = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} mx - 2 = 0\\ \left[ {2m - 1} \right]x + 1 = 0 \end{array} \right. \end{array}\]
\[\Leftrightarrow \left[ \matrix{ mx = 2 \hfill \cr [2m - 1]x = - 1 \hfill \cr} \right.\]
Nếu m=0 thì \[\left[ * \right] \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0x = 2\left[ {VN} \right]\\ - x = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1\]
Nếu \[2m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}\] thì \[\left[ * \right] \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{1}{2}x = 2\\0x = - 1\left[ {VN} \right]\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 4\]
Nếu \[m \ne 0\] và \[m \ne \frac{1}{2}\] thì \[\left[ * \right] \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{2}{m}\\x = - \frac{1}{{2m - 1}}\end{array} \right.\]
Ta có: \[\frac{2}{m} = \frac{1}{{1 - 2m}} \Leftrightarrow 2\left[ {1 - 2m} \right] = m\] \[ \Leftrightarrow 2 - 4m = m \Leftrightarrow 2 = 5m\] \[ \Leftrightarrow m = \frac{2}{5}\]
\[ \Rightarrow x = \frac{2}{m} = \frac{1}{{1 - 2m}} = 5\]
Vậy,
+ Nếu m = 0 thì thì pt có nghiệm duy nhất x = 1
+ Nếu m = \[{1 \over 2}\] thì thì pt có nghiệm duy nhất x = 4
+ Nếu \[m = \frac{2}{5}\] thì pt có nghiệm duy nhất \[x = 5\]
+ Nếu m ≠ 0, m ≠ \[{1 \over 2}\] và \[m \ne \frac{2}{5}\] thì phương trình có hai nghiệm phân biệt là: \[x_1 = {2 \over m};x_2 = {1 \over {1 - 2m}}\]