Tam giác cân, tam giác đều là những loại tam giác đặc biệt được ứng dụng nhiều trong cả chương trình Toán học bậc THCS lẫn THPT. Vậy tam giác cân là gì? Nó có những tính chất nào? Hãy cùng Cmath tìm hiểu qua bài hôm nay nhé!
Định nghĩa tam giác cân
Định nghĩa: Tam giác cân là tam giác mà hai cạnh bất kì của tam giác đó bằng nhau.
Ta xét với tam giác cân ABC tại A có cạnh AB và AC bằng nhau.
Cạnh AB và AC là gọi các cạnh bên
Cạnh BC được gọi là cạnh đáy
Góc A là góc đỉnh
Góc B và góc C là góc ở đáy
Nhận xét: Trường hợp đặc biệt, tam giác cân có hai cạnh bên và cạnh đáy bằng nhau.
Tính chất tam giác cân
Định lý 1: Nếu một tam giác là tam giác cân thì hai góc ở đáy của tam giác đó bằng nhau.
Ví dụ: Nếu ABC cân tại A thì ABC\=ACB
Nhận xét: Trường hợp đặc biệt, nếu hai góc ở đáy của 1 tam giác cân bằng 60o thì góc ở đỉnh cũng bằng 60o
Định lý 2: Nếu 1 tam giác có hai góc bằng nhau thì đó là tam giác cân.
Trường hợp đặc biệt: Nếu tam giác vừa vuông vừa cân, thì chỉ có duy nhất trường hợp là tam giác đó cân tại đỉnh góc vuông [hai cạnh góc vuông bằng nhau].
Chứng minh:
Ta có: Trong tam giác vuông: bình phương chiều cạnh huyền luôn bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.
Do vậy, giả thiết nếu 1 cạnh góc vuông bằng cạnh huyền thì cạnh còn lại bằng 0 là vô lý.
Ví dụ: Tính số đo các góc nhọn trong tam giác vuông cân:
Trong tam giác vuông cân, hai góc nhọn sẽ có số đo bằng nhau.
Góc ở đỉnh = 90o
Mà tổng ba góc = 180o
\=> số đo mỗi góc nhọn = [180 – 90]/2 = 45o
Học toán 7 cùng CMath
Tam giác đều
Định nghĩa: Tam giác đều là tam giác mà ba cạnh của tam giác đó bằng nhau.
Từ định lý 1 và 2 trong tam giác cân, ta có các hệ quả sau:
- Trong tam giác đều, các góc bằng nhau và bằng 60o.
- Một tam giác bất kì mà có 3 góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác đều.
- Một tam giác cân có 1 góc bằng 60o thì tam giác đó là tam giác đều.
Chứng minh:
Xét tam giác ABC đều,
Ta có AB = AC => ABC cân tại A => ABC \= ACB [1]
Lại có: AC = BC => ABC cân tại C => CAB \= CBA [2]
Từ [1] và [2] suy ra BAC \= ABC \= ACB [3]
Mà theo định lý tổng ba góc trong 1 tam giác ta có BAC + CBA + BCA \= 180
Từ [3] suy ra BAC \= CBA \= BCA \= 180/3 = 60o
Mẹo ghi nhớ
Tam giác cân:
- Là tam giác mà có 2 cạnh bằng nhau
- Là tam giác mà có 2 góc bằng nhau
Tam giác đều:
- Có 3 cạnh bằng nhau
- Có 3 góc bằng nhau và bằng 60o
- Tam giác đều là tam giác cân ở trường hợp đặc biệt . Nếu một tam giác cân có góc ở đỉnh bằng 60o thì đó là tam giác đều
Chú ý:
- Các góc ở đáy trong tam giác cân không lớn hơn 60o, góc ở đỉnh luôn lớn hơn 60o. Nếu góc ở đỉnh bằng 90o thì đó là tam giác vuông cân.
- Tam giác đều luôn là tam giác nhọn, các góc của tam giác đều luôn bằng 60o
Thành tựu đạt được của học sinh CMath
Bài tập vận dụng
Bài tập 1: Xét tam giác đều MNO
- Tính chiều dài cạnh NO biết cạnh MN = 18 cm
- Tính số đo góc N
Lời giải:
- Vì MNO đều nên: NO = MN = MO
\=> NO = 18 cm
Vậy chiều dài NO = 18 cm
- Vì MNO là tam giác đều nên M \= N \= O \= 180/3 = 60o
Vậy số đo góc N \= 60o
Bài tập 2: Cho các nhận định sau, đâu là nhận định đúng
- Tam giác mà có 3 cạnh bằng nhau thì đó là tam giác cân.
- Tam giác mà có 3 cạnh bằng nhau thì tam giác đó là tam giác đều.
- Tam giác đều là tam giác cân có góc ở đỉnh bằng 60o
- Chu vi tam giác đều được tính bằng cách lấy số đo chiều dài của 1 cạnh nhân 3.
- Đa giác có 3 góc bằng 70o là tam giác đều.
Lời giải:
- Sai vì nếu 1 tam giác có 3 cạnh bằng nhau thì tam giác đó phải là tam giác đều chứ không phải tam giác cân.
- Đúng vì theo định nghĩa tam giác đều thì tam giác đều có 3 cạnh bằng nhau
- Đúng vì tam giác cân có 1 góc bằng 60o là tam giác đều
- Đúng vì tam giác đều có 3 cạnh bằng nhau nên chu vi của nó sẽ bằng số đo 1 cạnh nhân 3.
- Sai vì tổng 3 góc trong 1 tam giác phải bằng 180o
Bài tập 3: Cho tam giác ABC vuông tại A có góc B = 45o, AB=5cm.
- Chứng minh ABC là vuông cân.
- Tính diện tích ABC
Lời giải:
- Trong tam giác ABC có:
A + B + C \= 180oC \= 180o – 90o – 45o \= 45o
B \= C \= 45o
ABC cân tại A
Vì ABC vuông tại A [giả thiết]
ABC vuông cân tại A.
- ABC cân tại A
ABC vuông tại A
SABC\=12.AB.AC=12.5.5=252 [cm2]
Bài tập 4:
- Dùng thước có chia centimet và compa vẽ tam giác ABC cân ở B có cạnh đáy bằng 3 cm, cạnh bên bằng 4cm.
- Dùng thước có chia centimet và compa vẽ tam giác đều ABC có cạnh bằng 3 cm.
Lời giải:
- Vẽ đoạn thẳng AC = 3 cm
Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là cạnh AC. Lấy A làm tâm, vẽ cung tròn có bán kính 4cm. Lấy C làm tâm vẽ cung tròn có bán kính 4cm.
Hai cung tròn trên cắt nhau tại điểm B.
Vẽ các đoạn thẳng AB, BC ta được ABC.
- Vẽ đoạn thẳng AC = 3 cm
Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là cạnh AC. Lấy A làm tâm, vẽ cung tròn có bán kính 3cm. Lấy C làm tâm vẽ cung tròn có bán kính 4cm.
Hai cung tròn trên cắt nhau tại điểm B.
Vẽ các đoạn thẳng AB, BC ta được ABC.
Bài tập 5: Trong các tam giác trên các hình 116, 117, 118. Các em hãy phân biệt tam giác đều và tam giác cân? Giải thích vì sao?
- Hình 116
Ta có: ABD cân vì AB = AD
ACE cân vì AC = AE
Do AB = AD, BC = DE nên AB + BC=AD + DE hay AC = AE
ACE cân
- Hình 117
Ta tính được:
G\=180o-[H+I]
\=180o-[70o+40o]
\=180o-[110o]=70o
H\=GGHI cân
- Hình 118
Ta có:
OMN là tam giác đều vì ba cạnh bằng nhau OM = MN = NO
OMK cân tại M vì: OM = MK
ONP cân tại N vì ON = NP
OMN là tam giác đều vì OM = MN = NO
OMN\=ONM [1]
Lại có: OMN+OMK\=180o [hai góc kề bù] [2]
Và ONM+ONP\=180o [hai góc kề bù] [3]
Từ [1], [2], [3] suy ra: OMK\=ONP
Xét OMK và ONP có:
OM = ON [giả thiết]
OMK\=ONP [chứng minh trên]
MK = NP [giả thiết]
OMK = ONP [c.g.c]
OK = OP
OKP cân tại O.
Bài tập 6: Cắt 1 tấm bìa hình tam giác cân. Hãy gắp tấm bìa đó sao cho hai cạnh bên trùng nhau để kiểm tra rằng góc ở hai đáy bằng nhau.
Lời giải:
Các bước tiến hành:
- Cắt tấm bìa hình tam giác cân
- Gấp tấm bìa sao cho hai cạnh bên của tam giác trùng lên nhau.
- Quan sát cạnh đáy sau khi gấp lại chúng trùng nhau.
- Ta thấy hai góc ở đáy của tam giác cân bằng nhau.
Bài tập 7: Cho 1 tam giác cân:
- Tính các góc ở đáy khi biết góc ở đỉnh bằng 40o
- Tính góc ở đỉnh khi biết góc ở đáy bằng 40o.
Lời giải:
- ABC cân và A\=40o
Ta có: A+B+C\=180o
A+2B\=A+2C\=180o
B\=C\=180o–A2\=70o [vì B\=C]
- ABC cân, B\=C\=40o
Ta có: A+B+C\=180o
A\=1800–B–C\=180o-2.40o\=100o
Bài tập 8: Hai thanh AB và AC của vì kèo một mái nhà thường bằng nhau và thường tạo với nhau một góc bằng:
- 145o nếu là mái tôn
- 100o nếu là mái ngói
Tính ABC trong các trường hợp trên.
Lời giải:
Ta có: AB = AC ABC cân ở A
B\=C
ABC có A+B+C\=180o mà B\=C
A+2B\=180oB\=180o–A2
- Với A\=145o ta được B\=17,5o
- Với A\=100o ta được B\=40o
Tham khảo thêm:
Tạm kết
Bài viết trên đã giúp các em củng cố lại kiến thức về tam giác cân cùng với những tính chất của nó. Hi vọng các em nắm chắc kiến thức và áp dụng vào làm các bài tập vận dụng. Chúc các em luôn học tốt và gặt hái được nhiều thành công trong học tập!