+ Đưa hai khối đa diện về cùng một đỉnh; hai đáy mới và cũ nằm trong cùng một mặt phẳng [thường thì đáy cũ chứa đáy mới]. Áp dụng công thức tính diện tích của đa giác để so sánh tỉ số giữa đáy cũ và đáy mới.
+ Nếu tăng [hoặc giảm] mỗi cạnh của đa giác [tam giác, tứ giác], k lần thì diện tích đa giác sẽ tăng [hoặc giảm] k2 lần.
3. Một số kết quả quan trọng:
Kết quả 1: Cho tam giác OAB, trên cạnh OA chọn A’, trên cạnh OB chọn B’.
Lúc đó:
SOA'B'SOAB=OA'OA⋅OB'OB
Kết quả 2: Cho hình chóp S. ABC, trên cạnh SA chọn A’, trên cạnh SB chọn B’ trên cạnh SC chọn C’.
Lúc đó:
VS.A'B'C'VS.ABC=SA'SA⋅SB'SB⋅SC'SC
Kết quả 3: Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Trên các cạnh bên AA’, BB’, CC’ lần lượt lấy các điểm M, N, P.
Giả sử:
A'MA'A=x; B'NB'B=y; C'PC'C=z
Khi đó: VA'B'C'.MNPVA'B'C'.ABC=x+y+z3
Kết quả 4: Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’. Trên các cạnh bên AA’, BB’, CC’, DD’ lấy lần lượt các điểm M, N, P, Q sao cho M, N. P, Q đồng phẳng.
Giả sử
A'MA'A=x, B'NB'B=y, C'PC'C=z, D'QD'D=t
Khi đó:
1. x+z=y+t
2. VA'B'C'D'.MNPQVA'B'C'D'.ABCD=x+y+z+t4
II. PHƯƠNG PHÁP
Dạng 1. Tỉ số thể tích của hình chóp tam giác.
+] Tỉ số thể tích của hai khối chóp chung đáy [hoặc chung chiều cao]
- Nếu hai khối chóp chung đáy thì tỉ số thể tích bằng tỉ số độ dài hai chiều cao.
- Nếu hai khối chóp chung đường cao thì tỉ số thể tích bằng tỉ số diện tích hai đáy.
+] Tỉ số thể tích của hai khối chóp tam giác:
- Sử dụng công thức tỉ số thể tích để tính.
Ví dụ 1: Cho hình chóp S. ABC có VS.ABC=6a3 . Gọi M, N, Q lần lượt là các điểm trên các cạnh SA, SB, SC sao cho SM = MA, SN = NB, SQ = 2QC. Tính VS.MNQ .
Hướng dẫn giải:
Ta có:
VS.MNQVS.ABC=SMSA.SNSB.SQSC=12.12.23=16
⇒VS.MNQ=16VS.ABC=16.6a3=a3
Vậy thể tích khối chóp S. MNQ là a3 .
Ví dụ 2: Hình chóp S. ABC có M, N, P theo thứ tự là trung điểm SA, SB, SC. Đặt k=VMNPABCVSABC . Khi đó giá trị của k là
- 87
- 78
- 8
- 18
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Dạng 2. Tỉ số thể tích của hình chóp tứ giác:
+] Tỉ số thể tích của hai khối chóp chung đáy [hoặc chung chiều cao]
- Nếu hai khối chóp chung đáy thì tỉ số thể tích bằng tỉ số độ dài hai chiều cao.
- Nếu hai khối chóp chung đường cao thì tỉ số thể tích bằng tỉ số diện tích hai đáy.
+] Tỉ số thể tích của hai khối chóp tứ giác:
- Phân chia khối chóp tứ giác thành nhiều khối chóp tam giác
- Sử dụng công thức tính tỉ số thể tích của hình chóp tam giác, các kĩ thuật chuyển đỉnh, chuyển đáy để tính toán thể tích các khối chóp tam giác.
- Kết luận lại về tỉ số khối chóp tứ giác ban đầu.
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC, SD. Tỉ số thể tích của khối chóp S.MNPQ và khối chóp S.ABCD bằng:
- 18
- 116
- 14
- 13
Lời giải
Chọn A.
Dạng 3. Tỉ số thể tích hình lăng trụ tam giác
+] Gọi V là thể tích khối lăng trụ, V[4] là thể tích khối chóp tạo thành từ 4 trong 6 đỉnh của lăng trụ [4 đỉnh được lấy phải tạo thành tứ diện], V[5] là thể tích khối chóp tạo thành từ 5 trong 6 đỉnh của lăng trụ. Khi đó:
V4=V3; V5=2V3
+] Nếu mặt phẳng cắt các cạnh bên của khối hộp ta sẽ áp dụng công thức tính nhanh tỉ số thể tích ở kết quả 4. Ngoài ra cần vận dụng thêm các phép lắp ghép đa diện [cộng – trừ thể tích đa diện] để giải quyết dạng toán này.